Conic Section · 硬算题解
一张手写照片，硬算出一条双曲线
原图里是两行带参数 r 的距离式。不用猜、不用凑——两次平方，把 r 彻底消掉，得到标准方程，再判断是哪一支。
0题目还原把照片翻译成数学语言
{
√(x² + y²) = r + 1 …①
√((x − 4)² + y²) = r + 2 …②
（r 为参数，求点 P(x, y) 的轨迹方程）
↑ 就是这张照片（第 6 张上传）
关键：①左边是点 P 到 F₁(0, 0) 的距离；②左边是点 P 到 F₂(4, 0) 的距离。右边的 r 是同一个参数——这就是命门。
1消参：两式相减一步看出它是双曲线
② − ①（两个式子右边的 r 一模一样，相减直接消掉）：
√((x − 4)² + y²) − √(x² + y²) = (r + 2) − (r + 1) = 1
也就是：|PF₂| − |PF₁| = 1（常数）
定义法（一眼法）：平面内到两个定点 F₁、F₂ 的距离之差等于常数（且小于 |F₁F₂|）的点的轨迹，是双曲线靠近 F₁ 的那一支。
这里 2c = |F₁F₂| = 4，2a = 1，显然 1 < 4，所以轨迹存在。
这里 2c = |F₁F₂| = 4，2a = 1，显然 1 < 4，所以轨迹存在。
不过题目要"硬算方程"，下面老老实实把根号消掉。
2硬算：两次平方作差逐步，每行都有理由
第 1 步：把根号挪到一起。
√((x − 4)² + y²) = √(x² + y²) + 1 …③
第 2 步：两边平方（第一次）。左边直接展开，右边用 (a+b)²：
(x − 4)² + y² = (x² + y²) + 2√(x² + y²) + 1
x² − 8x + 16 + y² = x² + y² + 2√(x² + y²) + 1
第 3 步：两边消去 x²、y²，整理出根号。
−8x + 16 = 2√(x² + y²) + 1
2√(x² + y²) = 15 − 8x
√(x² + y²) = (15 − 8x) / 2 …④
第 4 步：两边再平方（第二次），根号彻底消失。
x² + y² = (15 − 8x)² / 4
4x² + 4y² = 225 − 240x + 64x²
4y² = 60x² − 240x + 225
第 5 步：配方，凑成标准形式。
4y² = 60(x² − 4x) + 225 = 60(x − 2)² − 240 + 225
4y² = 60(x − 2)² − 15
60(x − 2)² − 4y² = 15 …⑤
⑤ 两边同除 15，就得到标准方程。
3写成标准方程认出 a、b、c
4(x − 2)² − (4/15)y² = 1
（x − 2)² / (1/4) − y² / (15/4) = 1
这是中心在 (2, 0)、焦点在 x 轴上的双曲线，其中
a = 1/2，a² = 1/4； c = |F₁F₂|/2 = 2； b² = c² − a² = 4 − 1/4 = 15/4，b = √15 / 2
4判断分支：到底要哪一支？最容易丢分的一步
平方会产生"增根"，所以要回到原式核对符号。由 ④ 式：
√(x² + y²) = (15 − 8x) / 2 ≥ 0 ⇒ 15 − 8x ≥ 0 ⇒ x ≤ 15/8 (= 1.875)
而双曲线两支的范围是：左支 x ≤ 3/2，右支 x ≥ 5/2。条件 x ≤ 15/8 把右支整个排除掉了。
更直观的判断：③ 式说明 |PF₂| = |PF₁| + 1，即点离 F₁ 更近 → 只能在左支（靠近 F₁(0,0) 的那一支）。
所以轨迹是：双曲线的左支，即 (x − 2)²/(1/4) − y²/(15/4) = 1，且 x ≤ 3/2
5参数 r 到底能取多少？
由 ① 式 r = |PF₁| − 1。在左支上 |PF₁| 的最小值在顶点 V(3/2, 0) 处取得：
|PF₁| ≥ |F₁V| = 3/2 ⇒ r ≥ 3/2 − 1 = 1/2
（若题目要求 r > 0，则 r ≥ 1/2 自动满足，不需要再额外限制。）
6图形与几何性质
红色实线 = 轨迹（左支）；灰色虚线 = 不是轨迹的右支；浅棕虚线 = 两条渐近线
| 量 | 值 | 怎么来的 |
|---|---|---|
| 中心 | (2, 0) | F₁(0,0)、F₂(4,0) 的中点 |
| a（实半轴） | 1/2 | 2a = 距离差 = 1 |
| c（半焦距） | 2 | 2c = |F₁F₂| = 4 |
| b（虚半轴） | √15 / 2 | b² = c² − a² = 15/4 |
| 离心率 e | 4 | e = c/a = 2 ÷ (1/2) |
| 渐近线 | y = ±√15 (x − 2) | y = ±(b/a)(x − 2)，b/a = √15 |
| 顶点 | (3/2, 0) | 中心沿 x 轴左移 a |
7代点验算三个点全过，才算真算对
| 取点 P | |PF₁| = r+1 | |PF₂| = r+2 | 差 |PF₂|−|PF₁| |
|---|---|---|---|
| (3/2, 0) 顶点 | 3/2 | 5/2 | 1 ✓ |
| (1, 3√5/2) ≈ (1, 3.354) | 3.5 | 4.5 | 1 ✓ |
| (−2, 3√105/2) ≈ (−2, 15.37) | 15.5 | 16.5 | 1 ✓ |
第二个点：|PF₁| = √(1 + 45/4) = √(49/4) = 7/2；|PF₂| = √(9 + 45/4) = √(81/4) = 9/2。第三个点同理。
8易错点小结
- 不判断分支：只写下标准方程就交，会丢"≤ 3/2"这个条件，也把右支错误地算进轨迹。
- 第一次平方后忘记把 2√(x²+y²) 单独整理：要先把根号凑到一边，再平方，否则越算越乱。
- 混淆 a、b、c：本题 2a 是"距离差"，2c 是"两焦点距离"。别把 4 直接当 a。
- 忽略 r 的范围：r 不是任意实数，它由轨迹点决定，最小 1/2。
- 定义要求 2a < 2c：这里 1 < 4，所以真的是双曲线（若等于就是一条射线，大于则无轨迹）。
9一句话总结
最终答案
4(x − 2)² − (4/15)y² = 1，且 x ≤ 3/2
（双曲线左支；a = 1/2，b = √15/2，c = 2，e = 4，渐近线 y = ±√15(x − 2)，参数 r ≥ 1/2）